1.定义
如果图G（有向图或者无向图）中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。
如果图G中所有边一次仅且一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
2. 定理及推论
欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
推论1：
1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。2) 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。3) G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。
有向图D存在欧拉通路的充要条件是：
D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。
推论2：1) 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。2) 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。3) 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。
3.欧拉通路回路存在的判断
根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断方法，定理和推论是来自离散数学的内容，这里就给出简明的判断方法：
A.判断欧拉通路是否存在的方法
有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。
无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。
B.判断欧拉回路是否存在的方法
有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。
无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。
4.欧拉回路的应用
A.哥尼斯堡七桥问题
B.一笔画问题
C.旋转鼓轮的设计
5.欧拉回路的求解
A. DFS搜索求解欧拉回路
基本思路：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉回路或欧拉通路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每一条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。
#include
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#include
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#define MAX 2010
using namespace std;
int maps[MAX][MAX];
int in[MAX];
int t[MAX];
int flag;
int k;
int Max,Min;
int DFS(int x)
{
int i;
for(i=Min;i<=Max;i++)
{
if(maps[x][i])///从任意一个与它相连的点出发
{
maps[x][i]--;///删去遍历完的边
maps[i][x]--;
DFS(i);
}
}
t[++k]=x;///记录路径，因为是递归所有倒着记
}
int main()
{
int n,i,x,y;
Max=-9999;
Min=9999;
flag=0;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
maps[x][y]++;
maps[y][x]++;
Max=max(x,max(y,Max));
Min=min(x,min(y,Min));
in[x]++;
in[y]++;
}
for(i=Min;i<=Max;i++)
{
if(in[i]%2)///存在奇度点，说明是欧拉通路
{
flag=1;
DFS(i);
break;
}
}
if(!flag)///全为偶度点，从标号最小的开始找
{
DFS(Min);
}
for(i=k;i>=1;i--)
{
printf("%d\n",t[i]);
}
return 0;
}
B. Fleury(佛罗莱)算法
Fleury算法是对DFS爆搜的一种改进，使用DFS漫不经心的随意走是效率不高的，Fleury是一种有效的算法。
关键是能不走桥就不去走桥，实在无路可走了才去走桥！！！
#include
#include
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#include
#include
using namespace std;
int ans[200];
int top;
int N,M;
int mp[200][200];
void dfs(int x)
{
int i;
top++;
ans[top]=x;
for (i=1; i<=N; i++)
{
if(mp[x][i]>0)
{
mp[x][i]=mp[i][x]=0;///删除此边
dfs(i);
break;
}
}
}
void fleury(int x)
{
int brige,i;
top=1;
ans[top]=x;///将起点放入Euler路径中
while(top>=0)
{
brige=0;
for (i=1; i<=N; i++) /// 试图搜索一条边不是割边（桥）
{
if(mp[ans[top]][i]>0)///存在一条可以扩展的边
{
brige=1;
break;
}
}
if (!brige)/// 如果没有点可以扩展，输出并出栈
{
printf("%d ", ans[top]);
top--;
}
else /// 否则继续搜索欧拉路径
{
top--;///为了回溯
dfs(ans[top+1]);
}
}
}
int main()
{
int x,y,deg,num,start,i,j;
scanf("%d%d",&N,&M);
memset(mp,0,sizeof (mp));
for(i=1;i<=M; i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
mp[x][y]=1;
mp[y][x]=1;
}
num=0;
start=1;///这里初始化为1
for(i=1; i<=N; i++)
{
deg=0;
for(j=1; j<=N; j++)
{
deg+=mp[i][j];
}
if(deg%2==1)///奇度顶点
{
start=i;
num++;
}
}
if(num==0||num==2)
{
fleury(start);
}
else
{
puts("No Euler path");
}
return 0;
}