求解Jordan标准型的相似变换矩阵涉及到将矩阵 A 通过一个可逆矩阵 P 变换成它的Jordan标准型 J，即：

其中，P 是相似变换矩阵，J 是矩阵 A 的Jordan标准型。

步骤概览

找到特征值：计算矩阵 A 的特征值 λ。求解特征向量和广义特征向量：对于每个特征值，找到特征向量和广义特征向量。构造相似变换矩阵 P：将特征向量和广义特征向量按照特定顺序排列，形成矩阵 P。求得Jordan标准型 J：矩阵 J 的每个Jordan块由对应的特征值和广义特征向量决定。接下来，通过一个具体的例子详细说明。

例：求 A 的Jordan标准型和相似变换矩阵 P

考虑矩阵：

步骤 1: 计算特征值

首先，计算 A 的特征值。特征多项式为：

解得唯一的特征值 λ=5，代数重数为 2。

步骤 2: 求解特征向量和广义特征向量

求特征向量：求解 ：

由第二行，。因此，特征向量为 。

求广义特征向量：由于代数重数为 2，而几何重数为 1，因此需要广义特征向量。求解 :

解得 , 因此，广义特征向量为 。

步骤 3: 构造相似变换矩阵 P

相似变换矩阵 P 是由特征向量和广义特征向量组成的矩阵。将特征向量 和广义特征向量 排成列：

步骤 4: 求Jordan标准型 J

因为特征值 λ=5的代数重数为 2，几何重数为 1，因此Jordan块是：

步骤 5: 检验相似变换

我们已经得到：

P 是变换矩阵。J 是Jordan标准型。验证是否满足 ：

计算 ，由于 P 是单位矩阵,。确认 ：

因此，变换矩阵 P 和Jordan标准型 J 是正确的。

总结

通过求解特征向量和广义特征向量，构造相似变换矩阵 P。通过广义特征向量的链，构造Jordan标准型 J。验证 是否成立。